Ctrl K

Bepaalde integraal berekenen

Typ een functie van x en de onder- en bovengrens, en krijg de bepaalde integraal: de oppervlakte onder de kromme tussen die grenzen, waarbij delen onder de x-as negatief meetellen.

Gebruik ^ voor machten, * voor keer (mag je weglaten: 3x), sqrt, sin, cos, tan, exp, log (= ln), pi en e.

Vul de velden in; de uitkomst verschijnt hier direct.

Zo werkt het

  1. Vul de waarden in

    Typ de getallen of de formule. Kommagetallen mogen met een komma. Geen idee? Klik op Voorbeeld invullen.

  2. Direct de uitkomst

    Het antwoord verschijnt terwijl je typt, met de belangrijkste tussenwaarden erbij.

  3. Bekijk de uitleg

    Onder "Zo reken je het uit" zie je de stappen, handig om je eigen berekening te controleren.

Hoe wordt het berekend

De integraal wordt numeriek berekend met de adaptieve regel van Simpson, die het interval blijft opsplitsen waar de functie snel verandert. Het resultaat is nauwkeurig tot ongeveer 10 significante cijfers. De integraal van sin(x) van 0 tot π is bijvoorbeeld 2.

Wat het niet doet

Deze tool geeft de waarde van een bepaalde integraal, een getal. Een primitieve als formule maakt hij niet. Is de functie ergens op het interval niet gedefinieerd of oneindig (zoals 1/x bij x = 0), dan krijg je een melding om andere grenzen te kiezen.

Invoer

Schrijf functies zoals bij afgeleiden berekenen: ^ voor machten, sqrt, sin, exp, log en pi. De grenzen mogen sommen zijn, zoals pi/2.

Rekenvoorbeelden

Integraal Waarde
∫₀¹ x² dx 0,3333 (= 1/3)
∫₀⁴ 3t² dt 64
∫₀^π sin(x) dx 2
∫₀^π (x² + sin x) dx 12,3354 (= π³/3 + 2)
∫₀^2π sin(x) dx 0

Gemiddelde waarde op het interval

De calculator toont ook de gemiddelde waarde van de functie tussen de grenzen, dat is de integraal gedeeld door de lengte van het interval. Bij het voorbeeld is dat 12,3354 ÷ π ≈ 3,9265. Zo vind je een gemiddelde snelheid uit een snelheid-tijdgrafiek, of een gemiddeld vermogen uit een vermogenskromme.

Afstand uit snelheid

Een auto met snelheid v(t) = 3t² m/s legt in de eerste 4 seconden ∫₀⁴ 3t² dt = 4³ = 64 m af. Een integraal telt veel kleine bijdragen op en maakt daarom van een snelheid een totaal. De omgekeerde stap, van functie naar veranderingssnelheid, doe je met afgeleiden berekenen.

Veelgestelde vragen

Krijg ik ook de primitieve als formule?

Nee. Je krijgt de waarde van een bepaalde integraal, een getal. Voor de formule integreer je met de hand, of gebruik je de regels van [afgeleiden berekenen](/nl/wiskunde/afgeleiden-berekenen-online-tool) omgekeerd.

Waarom kan de integraal negatief zijn?

Delen van de kromme onder de x-as tellen als negatieve oppervlakte. ∫ van 0 tot 2π van sin(x) dx is 0, omdat de positieve en negatieve helft elkaar opheffen. Voor de totale oppervlakte integreer je de delen apart.

Wat als de functie oneindig wordt op het interval?

Bijvoorbeeld 1/x met een grens bij 0. Je krijgt een melding om andere grenzen te kiezen in plaats van een verkeerd getal.

Hoe nauwkeurig is het resultaat?

Ongeveer 10 significante cijfers voor gladde functies, met de adaptieve regel van Simpson, die het interval verder opsplitst waar de functie snel verandert.